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石英は、ケイ素原子と酸素原子が組み合わさってできた二酸化ケイ素（Silicon Dioxide, SiO2）で、 32点群の六正方晶系で形成した単結晶構造﹝図一﹞である。単結晶の石英結晶体（水晶）構造は、圧電効果の特性を具え、結晶体を或る方向へ加圧した場合、 垂直方向へ圧力をかけると、電気電位を発生する。反対に一個の電界によって石英結晶体（水晶）の或るいくつかの軸方向で加圧すると、別方向に於いて、変形もしくは振動現象を発生する。単結晶石英材のこの種の圧電効果を掌握することにより、その発生した共振周波数の特性を利用し、その正確な程度が各種周波数信号の参考基準となり、即ちそれが水晶発振器の設計と応用に発揮される。 石英結晶体（水晶）は高い材料Q値を具えるため、ほぼ大部分の周波数制御部品、例として共振子及び発振器は、すべて石英材を基礎とする。石英を基礎とした周波数制御部品は、その圧電振動の属性に基づき、バルク波(bulk wave)振動部品及び弾性表面波(surface acoustic wave)振動部品に分けられる。バルク波振動部品は、例として水晶共振子, 水晶フィルター及び水晶発振器があり、 表面波振動部品は例として表面波フィルター及び表面波共振子がある。 石英結晶体（水晶）は特定の切断方式、 機械加工方式で予め表面研磨し、特定の外型サイズ、即ち通称水晶ウエハー(quartz wafer もしくは quartz blank )を完成する。この水晶ウエハーを真空環境に置き、表面に電極をメッキした後、次に導電材料で金属もしくは陶瓷基台上に固定してパッキングし、 いわゆる水晶共振子( quartz crystal resonator )とする。 水晶共振子が共振した時の低抵抗特性及び波の重畳特性を利用し、近隣の双電極で水晶フィルターを作り出すことができる。 水晶振動子を異なるの電子振動回路に加えて異なる特性の水晶発振器、例として: 水晶発振器(CXO), 電圧制御水晶発振器(Voltage Controlled Crystal Oscillator, VCXO), 温度補償水晶発振器(Temperature Compensated Crystal Oscillator, TCXO), 恒温槽制御水晶発振器(Oven Controlled Crystal Oscillator, OCXO)…等にすることができる。 バルク波共振に相対するのは弾性表面波の共振である。石英結晶体（水晶）表面を二股状電極(inter-digital-transducer, IDT)方式でメッキして発生した表面振動波は、短波長(高周波数)共振の弾性表面波共振子(SAW Resonator)もしくは弾性表面波濾波器(SAW Filter)を作り出すことができる。

石英材の二酸化ケイ素分子(SiO2)は、正常な状態に於いて、 その双極子モーメントは相互に平衡する電気中性である。図二左の二酸化ケイ素は二次元空間の簡化図形である。ケイ素原子上方及び酸素原子下方にそれぞれプラス電界及びマイナス電界を与えた時、空間システム電位平衡を維持するため、二個の酸素原子が相互に排除しあい、酸素原子下方に於いて、一個のプラス電界感知区域を形成し、同時にケイ素原子上方ではマイナス電界感知区域を発生する。反対に、ケイ素原子上方及び酸素原子下方にそれぞれマイナス電界及びプラス電界を与えた時、 二個の酸素原子は相互に近づき、酸素原子下方はマイナス電界感知を発し、ケイ素原子上方はプラス電界感知を発生する。 (図二). しかしながら、酸素原子の水平位置が変化すると、隣の別の一個の酸素原子は排除もしくは吸引の力を相対して発生し、酸素原子を元の空間位置に戻す。そのため、電界の力と原子との間の力が相互に引き合い、電界の変更と水平方向の形状変化が交互に作用する状態を形成する。この交互作用が石英材の消費エネルギーが最小の振動状態を形成し、電界から継続してエネルギーを供給するだけで、石英材は電界との間に一共振の周波数を維持することができる. この圧電効果の下、酸素原子の振幅と電界強度及び電界は、二酸化ケイ素に対するベクトル角度と相互に対応する関係がある。実際の応用に於いて、電界は水晶ウエハー上の金属にメッキすることで電極が発生し、電界と二酸化ケイ素のベクトル角度は石英インゴットの切断角度によって決定する。

(Fig. 2) Simplified one dimensional piezoelectricity of SiO2

異なる応用領域及び作業温度の必要に基づき、多くの異なるの石英（水晶）切断角度種類、例としてAT-, BT-, CT-, DT-, NT, GT…..等異なるの切断板片に対応する。 異なる切断方向の板片は、異なる弾性常数テンソル(elastic constant tensor), 異なる圧電常数テンソル(piezoelectric constant tensor)及び異なる誘電性常数テンソル(dielectric constant tensor)を具える。 これらのテンソルは、石英（水晶）部品の設計及び応用に於いて、異なる振動及び温度特性を展開する。図三ではZ-plat石英（水晶）構造上に於いて、幾種もの異なる方向の石英（水晶）板片切断方式を提示している。　

﹝Fig. 3﹞Orientation angle of a Z-plate quartz crystal.

異なる石英（水晶）切断角度及び異なる電極型状の電界効果を経て、水晶ウエハーは、各種異なるの振動形態を表す。通常発生する振動形態は、およそ撓み形態(flexure mode), 伸縮形態(extension mode), 面切断形態(face shear mode) と 厚み切断形態(thickness shear mode)に分けることができる。これら数種の振動形態は、簡単な方法によって、表一で見つけることができる。実際の状況に於いて、水晶ウエハーは単一の振動形態だけではなく、多種の形態があり、同時に一個の石英（水晶）ウエハーの振動中に存在し、適する設計により、その他の発生を望まない振動形態(unwanted mode)を押さえ、主要振動形態の最良を達成することができる

﹝Table 1﹞Vibration Mode and Cut Angle.

大部分の水晶製品は、電子回路上の参考周波数基準もしくは周波数制御部品に用いる。そのため、周波数と作業環境温度の特性は、ひとつの重要なパラメーターである。事実、良好な周波数と温度(frequeny versus temperature)特性も水晶を周波数部品に選択する主な要素のひとつである。適する定義及び設計により、石英結晶体（水晶）部品は百万分之一 (parts per million, ppm) 単位レベルの周波数誤差範囲を得ることができる。もし仮に回路方式を外してLCR部品で高周波振動回路を組み立てた場合、小量生産規模で必要とする参考周波数信号の誤差はppmもしくはsub-ppmレベルの要求であっても、この種の方式では量産規模の達成を得ることができない。石英部品の周波数は、温度特性、更には振動回路を外して簡易に達成するのは無理である。図四の中では数種の異なるの石英結晶体（水晶）切断角度の周波数の温度特性に対する曲線を提供している。

(Fig. 4) Frequency-temperature characteristics of various quartz cuts.

各種異なる種類の切断角度方式の中で、AT角度切断の水晶ウエハーは、数MHzから数百MHzの周波数範囲で適用し、水晶ウエハー応用範囲が最も広範で使用数量が最多の一種の切断応用方式である。図五は、石英インゴットX-軸方向からの上視図で、Z-軸方向に約35度回転するAT 方向を見ることができる。これは大量生産の技術に於いて、達成しやすい作業方式である。

( Fig.5 ) Orientation of AT plat

図六は、AT切断角で厚み振動形態の周波数を変動した温度特性に関する展開図である。 図中では常用の室温摂氏25度を相対ゼロ点とする。AT切断の最大の長所は周波数が温度変化に対して一元三次方曲線であることで、その特性は、図六で見ることができる。相当広い温度範囲に於いても AT切断の温度曲線の第一段階及び第二段階常数はゼロで、第三段階の常数は周波数の温度に対する変化値で決定する。

△fs (i) = A1 (Ti –25)3 + A2 (Ti –25)2 + A3 (Ti –25) + A4

(Fig. 6) AT - cut frequency-temperature characteristics.

図七(a)及び(b)は、それぞれDIP型式及びSMD型式の水晶振動子の基本構造図である。 図七(c)は、電子回路上で使用する水晶振動子の電子符号を表す。 水晶共振子箇所が振動周波数区域を離れる時、水晶共振子はわずか一個の電容量性の部品であり、周波数が石英結晶体（水晶）の振動周波数に近づいた時、近づくのは一個インダクタンス性と等価のLCR振動回路である。

図八は、水晶共振子を振動周波数附近のButterworth-Van Dyke (BVD)と等価の回路に転換したものである。この図の中には四個の主なパラメーター、 静態電容量-Co, 動態電容量-C1, 動態インダクタンス-L1及び動態電気抵抗-R1がある。

﹝Fig.8﹞

技術文献及び製品の応用に於いて、水晶共振子の共振には三組の異なる定義及び特性の共振周波数がある。

(1) 直列共振周波数及び並列共振周波数 ( fs , fp ) ( series resonance frequency and parallel resonance frequency )

(2) 共振周波数及び反共振周波数 ( fr , fa ) (resonance frequency anti-resonance frequency )

(3) 最大電導周波数及び最小電導周波数 ( fm , fn ) ( maximum admittance frequency minimum admittance frequency ).

この組の周波数のアドミタンス(admittance)図は、(図九)の複数座標で見ることができる。

﹝Fig.9﹞ Complex Admittance of Resonator

直列共振周波数及び並列共振周波数, fs and fp は、それぞれ電導(real part of the admittance)最大と電気抵抗(real part of the electric input impedance)最大時の周波数である。

共振周波数及び反共振周波数, fr and fa は、それぞれ電導がゼロに等しい(純電気抵抗特性)二個周波数である。その時、 fr の電気抵抗は 1 / Rrで、fa の電気抵抗は 1/ Raである。

共振時の等価回路を評価する場合、直列共振周波数及び並列共振周波数, fs and fp は、最も重要な二個周波数パラメーターであり、直列共振周波数及び並列共振周波数( fs and fp )二者の關係に対して、下記の公式で表す。

公式中のC1及び L1 は、それぞれ(図七)内の動態電容量(motional capacitance)及び動態インダクタンス(motional conductance)で、Co は静態電容量(shunt capacitance)である。

(1) 公称周波数及び容許誤差( Nominal Frequency and Tolerance )

正確な振動回路のマッチングにおいて、振動回路出力の周波数を“公称周波数( normal frequency )”と称する。周波数の単位は一般にメガヘルツ( megahertz, MHz) もしくは キロメガヘルツ(Killohertz, KHz)と表示する。 実際のロットサイズの生産及び振動回路応用で、製品は室温環境(25oC)において中心周波数に相対する周波数分布誤差がある。この種の型の周波数許容誤差の最大分布値は一般にppm ( parts per million )もしくは% ( percent )で表示する。

(2) 基本波の振動及び倍音振動形態( Fundamental and Overtone Vibrations )

AT切断角度の水晶共振子は、主に厚み切断振動形態で存在する。石英結晶体（水晶）は、共振時、基本波周波数振動の他に、高レベルの倍音共振も石英結晶体（水晶）の電極区域の間に基本波振動と同時に存在する。しかし、圧電材料の電極が電気相位に相反する振動環境にあることから、ただ奇数倍(odd number)の高周波倍音だけが発生し、 偶数倍(even number)の倍音共振は、水晶共振子では存在しない。(図十).

(Fig. 10) Only odd number harmonic vibrations can be excited in crystal resonator

(3) 負荷電容量 ( Load Capacitance, CL )

振動回路上の”負荷電容量(load capacitance)”の定義は、水晶共振子の二個端子から見た振動回路へ受けるすべての電容量値とする。 負荷電容量は回路上に於いて、水晶共振子と並列(parallel)、もしくは直列(series)の方法で連接することができ、並列方式連接の振動回路に於いて、負荷電容量(CL)の大きさは公称周波数の特性に影響する。 この種の負荷電容量の並列回路の共振周波数は fL で表示される。

この周波数も負荷電容量直列回路の公称周波数で、規格に於いては仔細に説明しなければならない。

(4) 周波数の温度に対する安定性( Frequency-Temperature Stability )

石英周波数は、温度変化によって変化する。これは石英材の各座標軸方向における熱膨脹係数と異なる。温度が変化すると、各軸方向格子距離に変化が生まれ、異なる切断角度を引用する時、異なる振動形態の変化もまた異なる。

AT切断角度の厚み切断振動形態の設計は、一般に摂氏25度を採用し、参考温度点の周波数で作業環境温度範囲内の周波数変動の安定性を定義する。定義においてこの周波数は温度安定性パラメーターになるのと同時に, 相対する作業環境温度範囲(Operation Temperature Range)に同じく規範される。

石英周波数部品周波数は、温度安定性の特性に対して公称周波数誤差と同じとし、ppmもしくは% を計量単位とする。部品の周波数温度特性曲線と石英（水晶）の切断角度, 振動形態, 表面処理及び外型サイズはすべて大きく関係する。この他、振動回路の負荷電容量(CL), ドライブレベル(drive level)の特性も振動回路出力周波数の温度変化の安定性に影響する。

(5) 等価直列電気抵抗 ( Equivalent Series Resistance , ESR)

石英結晶体（水晶）の直列振動がfs時の時、 C1及びL1は相反して互いに相殺する。共振子全体の動態アーム(motional arm) のアドミタンス(admittance)は最小電気抵抗値R1に接近する。この時、水晶共振子全体に現れるのはただ一個の電気抵抗性の部品だけで、電気抵抗値R1は部品全体の機械性エネルギーを消耗し、石英（水晶）材, 接着材及びパッケージ材上のすべてのエネルギー消耗を含む。

(6) 動態電容量( Motional Capacitance C1 ) 及び動態インダクタンス( Motional Inductance L1 )

公式一に於いて、動態電容量C1及び動態インダクタンスL1と直列共振周波数, fs ,は、相互に関連する。

実際の測量システムに於いては、ただ我們動態電容量C1及び直列協振周波数fs だけを測量することができる。動態インダクタンスL1は公式(4)で計算して求める。

(7) 静態電容量( Static Capacitance or Shunt Capacitance, Co )

静態電容量,Coは、主に水晶ウエハーを誘電材料として二個の電極で形成した電容量を主とする。 他に一小部分の静態電容量は水晶ウエハーとコード接続した導電接着材の間に連接した電容量と外筐をパッケージした電容量から成る。

静態電容量は、振動周波数の範囲より遠く低く測量したもので、振動周波数附近の動態電容量に影響を与えるのを防止する。 公式(5)は静態電容量の数学表示式である。

公式(5)に於ける, A は電極の面積を代表し、 d は水晶ウエハーの厚みを表し、ε は水晶ウエハーの相対誘電値を表し、 Cm+p はその他の材料が発生した電容量値である。

(8) ドライブレベル( Drive Level )

石英結晶体（水晶）のドライブレベルは、水晶共振子の消耗レベルを指す。一般にミクロワット(microwatte)で表示される。

振動回路の設計上、水晶共振子に振動を開始させ、並びに振動を維持させるのに適するレベルが提供されなければならない。石英結晶体（水晶）の振動は物理上、高周波機械振動に属し、振動時の電気電気抵抗値は、約10〜100オーム以下( 周波数範囲及びサイズの大小によって差異がある)である。 振動回路が仮に高すぎるドライブレベルを提供した場合、石英結晶体（水晶）の非コード特性変化及び石英/電極/接着材のインターフェイスを悪化させ、 更には振動周波数FL及び等価電気抵抗R1を過度に変化させる。石英結晶体（水晶）は長期間の高すぎるドライブレベルの下での作業により、不安定な現象が発生する。各種応用面の低消耗レベルの要求及び製品の小型化が主流となり、加えてここ数年水晶製品の技術が大幅に上がったため、水晶共振子の電気電気抵抗値全体はすべて下がって安定した。振動回路の設計は不要となり、また水晶共振子上面に於ける高すぎる駆動エネルギーは提供しない。大部分の応用面にとって、振動回路は、10 〜 100 ミクロワット( microwatte )が最大レベル(水晶共振子のサイズ及び周波数によって決める)で水晶共振子に提供すれば、十分足りる。

(9) 電気品質因子( Quality Factor, Q )

水晶共振子にとって、 電気品質因子Qは、大変重要なひとつの特性である。 電気品質因子は下記の公式(6)で表示する。

石英結晶体（水晶）の共振子の品質因子は、数百万以上に達する。

(10) 可変幅( Pullability ) 及び トリム感度( Trim Sensitivity )

水晶共振子は、並列振動回路上で応用し、振動周波数は、負荷電容量CLと大きく関係する。 これは前の公式(3)で見ることができ、図十一 は、並列振動回路のFL周波数に依る負荷電容量CLの変化曲線示意図である。

周波数の“可変幅”が指すのは、負荷電容量CL1の周波数FL1から負荷電容量CL2の周波数FL2の周波数の変化である。図十一内では、FL1(CL=24pF)とFL2(CL=10pF)の周波数変化値である。この例の周波数可変幅は220 ppmで、仮にCL1とCL2の負荷電容量値を極小化(曲線で数学上の微分をする)した場合、曲線の切線値を得ることができる。この切線値は或る一つの負荷電容量のトリム感度( trim sensitivity )である。

図十一に於いて、 CL=24 pF 時の周波数トリム感度は、10 ppm/pFでCL=10 pF時の周波数トリム感度は20 ppm/pFである。

並列回路で、負荷電容量が小さければ小さいほど、周波数の負荷電容量変化のトリム感度は高くなる。反対に負荷電容量が大きければ大きいほど、周波数の負荷電容量変化のトリム感度は低くなる。これは、水晶共振子をVCXO回路上で用いた時、回路設計上では比較的小さい負荷電容量を選ぶことができ、反対に比較的確実な周波数信号を要求する時には 回路設計上で比較的高い負荷電容量を選択することができる。

(Fig.11) Frequency variation vs. load capacitance

(11) エイジング( AGING )

“ エイジング” これは或る一特定時間範囲内に、水晶共振子が時間の推移と共に変化する周波数変化を意味し、百万分之一 ( parts per million, ppm ) を表示単位とする。エイジングは、周波数と時間上の特性曲線に於いて、 一般に現指数(exponential)型態の変化を表す。 周波数のエイジング変動の最大の期間は石英周波数部品製造後の一ヶ月目であり、その後、 周波数の変化は時間と共に減少する。周波数のエイジング特性にはいくつもの主な要素が影響する。例として パッケージの方法, 材料の種類, 製造工程温度, 製造工程管理, 熱処理過程及び製品のサイズと周波数高低がある。 規格上では短期(1〜3個月) もしくは長期(1〜10年)の周波数エイジングを定義する必要がある。

(12) 温度範囲保存( STORAGE TEMPERATURE RANGE )

前の作業環境温度範囲の他に、別の項目は、温度と関係のある特性で”温度範囲保存(Storage Temperature Range)”である。 このパラメーターが指すのは、製品が静態状況に於いて、最高と最低温度範囲を保存することができることである。. この温度範囲内に於いて、製品長期の保存後もはやり作業温度範囲内での正常な作業ができ、且つ規格に符合することを保証しなければならない。 この特性は、水晶共振子の部品設計及び製造工程設計と大きく関係するので、細心の注意を払って定義する。

(13) 負性電気抵抗(Negative Resistance , - R )

負性電気抵抗は、水晶共振子の二個端子から振動回路まで見て、振動回路の振動周波数で遭遇する時の電気抵抗特性値を指す。振動回路に於いて、十分な拡大増益値により水晶共振子が共振する時の機械能損失を補償することを提供しなければならない。負性電気抵抗は、水晶振動子の製品パラメーターではなく、振動回路の一項重要特性パラメーターである。共振子の角度にとっては、振動回路の”負性電気抵抗”である。

水晶共振子と振動回路もしくは集積回路(IC)を一つに整合して一個のパッケージして、外部から電源電圧を供給し、一個の主動部品出力周波数信号、つまりいわゆる水晶発振器を形成する。 水晶発振器は、単一パッケージ部品内部の異なるの振動回路及び出力回路によって、異なる特性要求の参考周波数(reference frequency)を提供する。 例として、水晶発振器SPXO ( Simple Package Crystal Oscillator )、 もしくは CXO ( Clock Crystal Oscillator )と言われる, プログラム可能水晶発振器PCXO ( Programmable Crystal Oscillator ), 電圧制御水晶発振器VCXO ( Voltage Controlled Crystal Oscillator ), 温度補償水晶発振器TCXO ( Temperature Compensated Crystal Oscillator ) 及び 恒温槽制御水晶発振器OCXO ( Oven Controlled Crystal Oscillator )がある。

応用面での需要を満足させるために、水晶発振器内部の振動回路は、基本波もしくは三倍音の異なる方式を用い、仮に数百メガヘルツの出力周波数に達した場合、 振動回路の後方では、位相ロックループ（Phase Loop Lock, PLL）方式もしくは倍音方式を採用することができ、比較的低い周波数の石英振動周波数を上げることができる。 出力端の出力レベル及び出力波型も各類異なる要求,例として CMOS, LVPECL, LVDS…..等がある。これらの規格すべて仔細に定義する。

(図十二)では数種の水晶発振器出力周波数の温度変化に対する安定性指示図を提供する。